摘要：1．(1)已知函数在处可导.且.求, (2)设求的值. 例2．求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) (5) (6) ［剖析］本题不要考查导数的有关计算.助借于导数的计算公式及常见的初等函数的导数.可以容易求得. ［解］(1) 解法一:. 解法二: (2) (3) . (4) (5) . (6) ［警示］复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求层.每次求导都针对最外层.直到求到最里层为止.所谓最里层是指已经可以直接引用基本导数公式进行求导的. (2)求导时.先化简再求导是运算的基本方法.这样可以减少计算量.一般说来.分式函数求导.要先观察函数的结构特征.可否化为整式函数或较为简单的分式函数,对数函数的求导.可先化为和.差的形式,三角函数的求导.先利用三角函数公式转化为和或差的形式. ［变式训练］
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已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
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