摘要：两个平面垂直的判定和性质:(1)判定:①判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线.那么这两个平面互相垂直.②定义法:即证两个相交平面所成的二面角为直二面角,(2)性质:如果两个平面垂直.那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如(1)三个平面两两垂直.它们的交线交于一点O.P到三个面的距离分别为3.4.5.则OP的长为 在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.底面各边都相等.M是PC上的一动点.当点M满足 时.平面MBD⊥平面PCD(答:),(3)过S引三条长度相等但不共面的线段SA.SB.SC.且∠ASB=∠ASC=60°.∠BSC＝90°.求证:平面ABC⊥平面BSC. 特别指出:立体几何中平行.垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化.即: 如(1)已知直线平面.直线平面.给出下列四个命题:① ②,③,④.其中正确的命题是 设是两条不同直线.是两个不同平面.给出下列四个命题:①若则,②若.则,③若.则或,④若则.其中正确的命题是
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在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，
又因为
,
………………2分
又
，得证。
第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则
的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，
又因为,又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知时，存在点Q使得
当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
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