摘要：2．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合.则吻合后的几何 体呈现几个面? 分析:这道题.学生答“7个面 的占99.9%.少数应服从多数吗? 从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色.它们的目标分别是找“点 .“垂面 . “垂线段 ．事实上.我们只要找到其中一个.另两个就接踵而来．掌握这种关系对提高解 题技能和培养空间想象能力非常重要． 本题如果能融合三个特征对思维的监控.可有效地克服.抑制思维的消极作用.培养思维 的广阔性和批判性． 如图9.过两个几何体的高线VP.VQ的垂足 P.Q分别作BC的垂线.则垂足重合于O.且O为 BC的中点．OP延长过A.OQ延长交ED于R.考 虑到三垂线定理的环境背影.∠AOR为二面角 A-BC-R的平面角.结合特征.可得VAOR 为平行四边形.VA∥BE.所以V.A.B.E共面．同 理V.A.C.D共面．所以这道题的正确答案应该 是5个面． 例3 如图10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E是BC的中点.F在AA1上.且A1F∶FA=1∶2.求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值． 分析:在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中.没有出现二面角的棱.我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点.则这两个公共点的连线即为二面角的棱.最后借助这条棱作出二面角的平面角． 略解:如图10．在面BB1CC1内.作EH⊥B1C1于H.连结HA1.显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1． 延长EF.HA1交于G.过G.B1的直线为所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1内.作HK⊥GB1于K.连EK. 则∠HKE为所求二面角的平面角． 在平面A1B1C1D1内.作B1L⊥GH于L.利用Rt△GLB1∽Rt△GKH.可求得KH． 又在Rt△EKH中.设EH=a.容易得到:所求二面角大小的正切值 注:我们也可以不直接作出二面角的平面角.而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小．我们可以使用平移法．由两平面平行的性质可知.若两平行平面同时与第三个平面相交.那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时.可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置.以便等价地作出该二面角的平面角． 略解:过F作A′B′的平行线交BB′于G.过G作B′C′的平行线交B′E于H.连FH． 显见平面FGH∥平面A′B′C′D′． 则二面角B′-FH-G的平面角度数等于 所求二面角的度数． 过G作GM⊥HF. 垂足为M.连B′M.由三垂线定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG为二面角 B′-FH-G的平面角.其大小等于所求 二面角平面角的大小． 例4 已知:如图12.P是正方形ABCD所在 平面外一点.PA=PB=PC=PD=a.AB=a． 求:平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值． 分析:为了找到二面角及其平面角.必须依据题目的条件.找出 两个平面的交线． 解:因为 AB∥CD.CD 平面CPD.AB 平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB.且P∈平面CPD. 因此 平面APB∩平面CPD=l.且P∈l． 所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面CPD.AB 平面APB.平面CPD∩平面APB=l. 所以 AB∥l．过P作PE⊥AB.PE⊥CD．因为 l∥AB∥CD.因此 PE⊥l.PF⊥l. 所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因为 PE是正三角形APB的一条高线.且AB=a. 因为 E.F分别是AB.CD的中点.所以 EF=BC=a． 在△EFP中. 小结:二面角及其平面角的正确而合理的定位.要在正确理解其定义的基础上.掌握其基本特征.并灵活运用它们考察问题的背景．我们已经看到.定位是为了定量.求角的大小往往要化归到一个三角形中去解.因此寻找“垂线段 .把问题化归是十分重要的．

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