摘要：12．已知点P1(a1.b1).P2(a2.b2).-.Pn(an.bn)(n∈N*)都在函数y＝logx的图象上． (1)若数列{bn}是等差数列.求证:数列{an}为等比数列, (2)若数列{an}的前n项和为Sn＝1-2-n.过点Pn.Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn.求使cn≤t对n∈N*恒成立的实数t的取值范围． 解:(1)因为数列{bn}是等差数列.故设公差为d. 则bn+1-bn＝d对n∈N*恒成立． 依题意bn＝logan.an＝()bn. 由an>0.所以＝()bn+1-bn＝()d是定值.从而数列{an}是等比数列． (2)当n＝1时.a1＝S1＝.当n≥2时.an＝Sn-Sn-1＝()n.当n＝1时也适合此式.即数列{an}的通项公式是an＝()n. 由bn＝logan.数列{bn}的通项公式是bn＝n. 所以Pn(.n).Pn+1(.n+1).过这两点的直线方程是y-n＝-2n+1(x-).该直线与坐标轴的交点是An(.0)和Bn(0.n+2)． cn＝|OAn|×|OBn|＝. 因为cn-cn+1＝-＝>0. 即数列{cn}的各项依次单调递减.所以要使cn≤t对n∈N*恒成立.只需c1≤t.又c1＝.可得t的取值范围是[.+∞)． 故实数t的取值范围是[.+∞)．

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