在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2 a b 0

属于特征值-1的一个特征向量为

1 -3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

（2013•广州二模）经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2

2

sin（θ-

π

4

），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量α2=

1 -1

，求矩阵A的逆矩阵A^-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，

π

2

)，直线l过点A且倾斜角为

π

4

，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求证：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2

3

，OA=

3

OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=

.

1 a b 1

.

的作用下变换为曲线x²-2y²=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t  y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．