摘要：7．(2008年山东卷.数学理科.20)如图.已知四棱锥P-ABCD.底面ABCD为菱形.PA⊥平面ABCD.,E.F分别是BC, PC的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若H为PD上的动点.EH与平面PAD所成最大角的正切值为.求二面角E-AF-C的余弦值. [解析]本题考查线线垂直的证明.和二面角的求法.理科生应学会利用空间向量解决问题. [答案](Ⅰ)证明:由四边形为菱形..可得为正三角形． 因为为的中点.所以． 又.因此． 因为平面.平面.所以． 而平面.平面且. 所以平面．又平面.所以． (Ⅱ)解:设.为上任意一点.连接． 由(Ⅰ)知平面. 则为与平面所成的角． 在中.. 所以当最短时.最大. 即当时.最大． 此时. 因此．又.所以.所以． 解法一:因为平面.平面.所以平面平面． 过作于.则平面. 过作于.连接.则为二面角的平面角. 在中... 又是的中点.在中.. 又. 在中..即所求二面角的余弦值为． 解法二:由(Ⅰ)知两两垂直.以为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系.又分别为的中点.所以 . . 所以． 设平面的一法向量为. 则因此取.则. 因为...所以平面. 故为平面的一法向量． 又.所以． 因为二面角为锐角.所以所求二面角的余弦值为．

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