摘要：[例1]求过点(0.2)的直线被椭圆x2+2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程． 解:设直线方程为y=kx+2. 把它代入x2+2y2＝2. 整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0． 要使直线和椭圆有两个不同交点.则Δ＞0.即k＜-或k＞． 设直线与椭圆两个交点为A(x1.y1).B(x2.y2).中点坐标为C(x.y).则 x＝＝. y= +2＝． (k＜-或k＞). 从参数方程 x=. y= 消去k得x2+2(y-1)2＝2. 且|x|＜.0＜y＜． [例2] 如图.M是抛物线上y2=x上的一点.动弦ME.MF分别交x轴于A.B两点.且MA=MB． (1)若M为定点.证明:直线EF的斜率为定值, (2)若M为动点.且∠EMF=90°.求△EMF的重心G的轨迹方程． 解:(1)设M(y,y0).直线ME的斜率为k(l>0) 则直线MF的斜率为-k. 消 所以直线EF的斜率为定值 (2) 同理可得 设重心G(x, y).则有 [例3]如图.椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2.0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T.且椭圆的离心率e=． (Ⅰ)求椭圆方程, (Ⅱ)设F.F分别为椭圆的左.右焦点.M为线段的中点.求证:∠ATM=∠AFT． 解:(I)过点.的直线方程为 因为由题意得 有惟一解. 即有惟一解. 所以 (). 故 又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为 (II)由(I)得 故 从而 由 解得所以 因为 又得 因此 [例4]已知椭圆C:+＝1(a＞b＞0).两个焦点分别为F1和F2.斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A.B两点.设l与y轴交点为P.线段PF2的中点恰为B． (1)若|k|≤.求椭圆C的离心率的取值范围, (2)若k=.A.B到右准线距离之和为.求椭圆C的方程． 解:(1)设右焦点F2(c.0).则l:y=k(x-c)． 令x=0.则y=-ck.∴P(0.-ck)． ∵B为F2P的中点.∴B(.-)． ∵B在椭圆上.∴+＝1． ∴k2＝·＝(-1)(4-e2) ＝+e2-5． ∵|k|≤.∴+e2-5≤． ∴(5e2-4)(e2-5)≤0． ∴≤e2＜1．∴≤e＜1． (2)k＝.∴e＝．∴＝． ∴a2＝c2.b2＝c2．椭圆方程为+＝1.即x2+5y2＝c2． 直线l方程为y=(x-c). B(.-c).右准线为x=c． 设A(x0.y0).则 (c-x0)+(c-)＝. ∴x0＝2c-.y0＝(c-)． ∵A在椭圆上. ∴(2c-)2+5［(c-)］2＝c2． 解之得c=2或c＝． ∴椭圆方程为x2+5y2＝5.即+y2＝1． [研讨．欣赏]双曲线C与椭圆有相同的焦点.直线为C的一条渐近线. (1)求双曲线C的方程, (2)过点的直线.交双曲线C于A.B两点.交轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当.且时.求点的坐标. 解:(Ⅰ)设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为. 对于双曲线.又为双曲线的一条渐近线 解得 . 双曲线的方程为 (Ⅱ)解法一: 由题意知直线的斜率存在且不等于零. 设的方程:. 则 在双曲线上. 同理有: 若则直线过顶点.不合题意． 是二次方程的两根． . 此时． 所求的坐标为． 解法二: 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程..则． . 分的比为． 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三: 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程:.则． . ． . .. 又. 即 将代入得 .否则与渐近线平行. . 解法四: 由题意知直线l得斜率k存在且不等于零.设的方程:. 则 , . 同理 ． 即 . (*) 又 消去y得． 当时.则直线l与双曲线得渐近线平行.不合题意.. 由韦达定理有: 代入(*)式得 所求Q点的坐标为.

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