摘要：利用函数的连续性求下列极限. (1)(lg2x+3lgx+4),(2).(3) 初等函数(比如xα;α常数.指数函数.对数函数.正弦函数等等)在其定义域里每一点处的极限值等于该点的函数值.因为初等函数在其定义域内是连续的.这样就可以求初等函数的极限了.可以用此法求解.(3)中.由于在x=1处不连续.所以不能直接用f(x)=f(x0)来求极限.可以设法约去分子.分母的公因式.再求极限. 解:(1)由于lg2x+3lgx+4在x=10处连续.因此(1g2x+3lgx+4)=lg210+3lg10+4=8. (2)由于在x=0处连续.因此． (3)由于在x=1处不连续. 因此 (x=1点为此函数的连续点)
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＝________.
＝________.已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
=0在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，
＜ln
＜
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
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（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
| f(b)-f(a) |
| b-a |
当0＜a＜b时，
| b-a |
| b |
| b |
| a |
| b-a |
| a |