摘要：理.20)在直角坐标系xOy中,椭圆C1: =1 的左.右焦点分别为F1.F2.F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点.点M为C1与C2在第一象限的交点.且|MF2|=. (1)求C1的方程, (2)平面上的点N满足=+.直线l∥MN.且与C1交于A.B两点.若·=0.求直线l的方程. 解 (1)由C2:y2=4x,知F2(1,0), 设M(x1,y1),M在C2上, 因为|MF2|=,所以x1+1=, 得x1=,y1=.所以M. M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1, 于是 消去b2并整理得9a4-37a2+4=0. 解得a=2(a=不合题意,舍去). 故b2=4-1=3. 故椭圆C1的方程为. (2)由=+,知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l∥MN,所以l与OM的斜率相同. 故l的斜率k==. 设l的方程为y=(x-m). 由消去y并整理得 9x2-16mx+8m2-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,x1x2=. 因为⊥,所以x1x2+y1y2=0. 所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2 =7·-6m·+6m2 =(14m2-28)=0. 所以m=±.此时Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)＞0. 故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.

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