摘要：的直线l与中心在原点.焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A.B两点.直线y=x过线段AB的中点.同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称.试求直线l与椭圆C的方程. 解 设椭圆C的方程为=1.显然.直线l的斜率存在且不为0.设l的方程为y=k(x-1)代入椭圆方程.整理得 (k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0. 因为直线l与C交于A.B两点 ∴Δ=4k4a4-4(a2k2-a2b2)(k2a2+b2)＞0. 即k2a2-k2+b2＞0, ① 当Δ＞0时.设直线l与椭圆C的交点为 A(x1,y1).B(x2,y2).AB中点为M(x0,y0),则 x0=(x1+x2)= ∴y0=(y1+y2)= ［k(x1-1)+k(x2-1)］ =-. ∵M(x0,y0)在直线y=x上. ∴-=·, ∴k=-.又=1-e2=1-=, ∴k=-=-1. 因此直线l的方程为y=-x+1. ∵a2=2b2.∴椭圆C的方程为=1.其右焦点为点关于直线y=-x+1的对称点为, 则. 因为点在椭圆上. ∴1+2(1-b)2=2b2.解得b2=. 把b2=,a2=,k2=1代入①式.得Δ＞0. ∴b2=.a2=. ∴椭圆C的方程为=1, 直线l的方程为y=-x+1.

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