摘要：1(2009年滨海新区五所重点学校联考文19). 如图.在棱长为的正方体中. .分别为.的中点. (Ⅰ)求证://平面 (Ⅱ)求证:⊥ (Ⅲ)求三棱锥的体积19． 解: (Ⅰ)连结BD1.在△DD1B中.E.F分别为D1D. DB的中点.则EF//D1B. ------2分 ------4分 (Ⅱ)∵B1C⊥AB.B1C⊥BC1.------5分 AB平面ABC1D1.BC1平面ABC1D1. AB∩BC1=B. ∴B1C⊥平面ABC1D1. ------7分 又∵BD1平面ABC1D1. ∴B1C⊥BD1. ------8分 而EF//BD1.∴EF⊥B1C.------9分 (Ⅲ)三棱锥的体积------12分 2(汉沽一中2008~2009届月考文18)．如图.已知棱柱的底面是菱形.且面...为棱的中点.为线段的中点. (1)求证:面, (2)求证:面, (3)求面与面所成二面角的大小． (1)证明:连结.交于点.再连结------------------1分 且. 又. 且 四边形是平行四边形.----- 3分 又面 面 ------------ 4分 (2)证明:底面是菱形. ---- 5分 又面.面 .面 ------------------6分 又面 ------------8分 (3)延长.交于点 ------------9分 是的中点且是菱形 又 ------------10分 由三垂线定理可知 为所求角 -----------------12分 在菱形中. -------------------14分 3(汉沽一中2008~2009届月考理17)． 如图所示的几何体中,平面.,. .是的中点. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 解法一: 分别以直线为轴.轴.轴.建立如图所示的空间直角坐标系.设.则 . 所以. ---------- 4分 (Ⅰ)证: -- 5分 -- 6分 ,即.--------- 7分 (Ⅱ)解:设平面的法向量为, 由,得 取得平面的一非零法向量为 ---------- 10分 又平面BDA的法向量为 -------------- 11分 . ∴二面角的余弦值为. ----------- 14分 解法二: (Ⅰ)证明:取的中点,连接,则, 故四点共面. ---------- 2分 ∵平面. . ---------- 3分 又 ---------- 4分 由. 平面 ---------- 6分 ; --------- 7分 (Ⅱ)取的中点,连,则 平面 过作,连,则 是二面角的平面角. --------- 9分 设, 与的交点为,记,,则有 . . , -------- 12分 又 在中, 即二面角的余弦值为. -------- 14分 4(汉沽一中2008~2008学年月考理17)． 如图.三棱锥P-ABC中. PC平面ABC.PC=AC=2.AB=BC.D是PB上一点.且CD平面PAB． (I) 求证:AB平面PCB, (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小, (III)求二面角C-PA-B的大小． 解法一:(I) ∵PC平面ABC.平面ABC. ∴PCAB．----------2分 ∵CD平面PAB.平面PAB. ∴CDAB．----------4分 又. ∴AB平面PCB． ----------5分 (II) 过点A作AF//BC.且AF=BC.连结PF.CF． 则为异面直线PA与BC所成的角．---6分 由(Ⅰ)可得AB⊥BC. ∴CFAF． 由三垂线定理.得PFAF． 则AF=CF=.PF=. 在中. tan∠PAF==. ∴异面直线PA与BC所成的角为．-------------9分 (III)取AP的中点E.连结CE.DE． ∵PC=AC=2.∴CE PA.CE=． ∵CD平面PAB. 由三垂线定理的逆定理.得 DE PA． ∴为二面角C-PA-B的平面角．-------------11分 由(I) AB平面PCB.又∵AB=BC.可求得BC=． 在中.PB=. ． 在中. sin∠CED=． ∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．--14分 解法二:(I)同解法一． AB平面PCB.∵PC=AC=2. 又∵AB=BC.可求得BC=． 以B为原点.如图建立坐标系． 则A(0..0).B. C(.0.0).P(.0.2)． .． -------7分 则+0+0=2． == ． ∴异面直线AP与BC所成的角为．---------10分 (III)设平面PAB的法向量为m= ． .. 则 即 解得 令= -1, 得 m= (.0.-1)． 设平面PAC的法向量为n=()． .. 则 即 解得 令=1, 得 n= ．-----------12分 =． ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．------------14分 5(和平区2008年高考数学. 如图.直二面角D-AB-E中.四边形ABCD是边长为2的正方形.AE=EB.F为CE上的点.且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥平面BCE, (2)求二面角B-AC-E的大小, (3)求点D到平面ACE的距离. 解:(1)如图.∵ BF⊥平面ACE ∴ BF⊥AE 又∵ 二面角D-AB-E为直二面角.且CB⊥AB ∴ CB⊥平面ABE ∴ CB⊥AE ∵ ∴ AE⊥平面BCE (2)连BD交AC于G.连FG ∵ 正方形ABCD边长为2 ∴ BG⊥AC. ∵ BF⊥平面ACE 由三垂线定理逆定理得FG⊥AC ∴ ∠BGF是二面角B-AC-E的平面角 由(1)AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EB 又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形AEB中. 又∵ Rt△BCE中. ∴ ∴ 在Rt△BFG中. ∴ 二面角B-AC-E等于 (3)过E作EO⊥AB于O.OE=1 ∵ 二面角D-AB-E为直二面角 ∴ EO⊥平面ABCD 设D到平面ACE的距离为h ∵ ∴ ∵ AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EC ∴ ∴ 点D到平面ACE的距离为

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