摘要： 利用递推法 例10 设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f,求证:f(x)是周期函数. 解 ∵ f, ∴ f, 将以上两式相加,得 f, ∴ f, ∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期. 例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f+xy (x,y∈N+),f的解析式. 解 令y=1, ∵ f(1)=1, ∴ f+x, 即f=x+1, 则 f=2, f=3, -- f=x. 将以上各式相加,得 f=2+3+4+ -+x, ∴ f(x)=1+2+3+4+-+x=x(x+1) (x∈N+).
网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_4003199[举报]
阅读下面所给材料：已知数列{an}，a1=2，an=3an-1+2，求数列的通项an．
解：令an=an-1=x，则有x=3x+2，所以x=-1，故原递推式an=3an-1+2可转化为：
an+1=3（an-1+1），因此数列{an+1}是首项为a1+1，公比为3的等比数列．
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+4，
（1）求数列的通项an；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
（2）若记Sn=
，求
Sn；
（3）若数列{bn}满足：b1=10，bn+1=100bn3，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{bn}的通项公式bn． 查看习题详情和答案>>
解：令an=an-1=x，则有x=3x+2，所以x=-1，故原递推式an=3an-1+2可转化为：
an+1=3（an-1+1），因此数列{an+1}是首项为a1+1，公比为3的等比数列．
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{an}，a1=1，an=3an-1+4，
（1）求数列的通项an；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
（2）若记Sn=
| n |
 |
| k=1 |
| 1 |
| lg(ak+2)lg(ak+1+2) |
| lim |
| n→∞ |
（3）若数列{bn}满足：b1=10，bn+1=100bn3，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{bn}的通项公式bn． 查看习题详情和答案>>
已知函数
，数列
的项满足：
，（1）试求
（2） 猜想数列
的通项，并利用数学归纳法证明.
【解析】第一问中，利用递推关系
, 
, 
第二问中，由（1）猜想得：
然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
（2）由（1）猜想得：
（数学归纳法证明）i) 
,
,命题成立
ii) 假设
时，
成立
则
时，
综合i),ii) : 成立
查看习题详情和答案>>
数列
，满足
（1）求
，并猜想通项公式
。
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式求解，并用数学归纳法加以证明。第一问利用递推关系式得到
，
，
，
，并猜想通项公式
第二问中，用数学归纳法证明（1）中的猜想。
①对n=1，等式成立。
②假设n=k
时，
成立，
那么当n=k+1时，
，所以当n=k+1时结论成立可证。
数列，满足
（1），，，并猜想通项公。 …4分
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。①对n=1，等式成立。 …5分
②假设n=k时，成立，
那么当n=k+1时，
，
……9分
所以
所以当n=k+1时结论成立 ……11分
由①②知，猜想对一切自然数n均成立
查看习题详情和答案>>