摘要：如下图.四面体ABCD中.E.G分别为BC.AB的中点.F在CD上.H在AD上.且有DF∶FC=2∶3.DH∶HA=2∶3. 求证:EF.GH.BD交于一点. 证明:连结GE.HF. ∵E.G分别为BC.AB的中点. ∴GE∥AC. 又∵DF∶FC=2∶3.DH∶HA=2∶3. ∴HF∥AC.∴GE∥HF.故G.E.F.H四点共面. 又∵EF与GH不能平行.∴EF与GH相交.设交点为O. 则O∈面ABD.O∈面BCD.而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF.GH.BD交于一点. [探索题]设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1.BB1.CC1相交于一点O.且=== .试求的值. [探索题]解:依题意.因为AA1.BB1.CC1相交于一点O.且==.所以AB∥A1B1. AC∥A1C1.BC∥B1C1.由平移角定理得 ∠BAC=∠B1A1C1.∠ABC=∠A1B1C1.△ABC∽△A1B1C1.所以=()2=.
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点E、F、G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．
①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
②过点F、D1、G的截面是正方形；
③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；
④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积是定值；
⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点，O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（ ）