摘要：(一) 典型例题 例1. 解: 例2. 解:解法1:依定义 则 若在上是增函数, 则在上可设. 在区间上恒成立, 考虑函数 由于的图象是对称轴为 开口向上的抛物线, 故要使在区间上恒成立即 而当时, 在上满足, 即在上增函数. 故t的取值范围是. 解法2:依定义 在区间上恒成立, 考虑函数 的图象是开口向下的抛物线, 当且仅当且时 在上满足, 即在上是增函数. 故t的取值范围是. 例3. 解: (1)设P点坐标为, 则由则以P点为切点的 切线斜率为若则不符合题意. ∵切线过点, ∴斜率为． ∴, ∴, ∴切点P总在直线上. (2) 解法一: ∵l的斜率为.∴PT的斜率为. ∴PT的方程为. 令,得PT与x轴交点的横坐标为. 在(1)中, , 又∴. ∴ ∴ (当且仅当, 即时等号成立). ∴的最小值为. 解法二:直线l的斜率为, 则垂线斜率为. 垂线方程为. 令, 解得与x轴的交点T的横坐标为 当且仅当3.即时, 等号成立. ∴的最小值为.
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23、课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cauchy．法国）不等式当n=2时的特例，即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），等号当且仅当ad=bc时成立．
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．
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请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．
（2013•内江二模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，对任意a，b⊕b为唯一确定的实数且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）对任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函数f(x)=x⊕
，则下列命题中：
（1）函数f（x）的最小值为3；
（2）函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．
其中正确例题的序号有
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（1）对任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）对任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）对任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函数f(x)=x⊕
| 1 | x |
（1）函数f（x）的最小值为3；
（2）函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）．
其中正确例题的序号有
（3）
（3）
．（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数g(x)=
|
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．