摘要：利用向量可以解决线段相等.直线垂直.立体几何中空间角(异面直线的角.线面角.二面角)和空间距离(点线距.线线距.线面距.面面距).建立坐标系.写出坐标.可以“以数定形 . 例10．如图所示.P是正方形的ABCD的对角线BD上一点.四边形PECF是矩形. 求证:(1).PA=EF (2).PA⊥EF 建立如图的坐标系.设正方形的边长是1.︱︱=, 则A(0,1),P(,),E(,0),F(1, ) ∴=(-,1-) =(-1,- ) (1).∵︱︱=(-)+(1-) =-+1 ︱︱=(-1)+ (-) =-+1 ∴︱︱=︱︱.即PA=EF (2). ﹡＝(-)(-1)+(1-)(-) ＝--++＝0 ∴⊥.即PA⊥EF 例11．如图所示.在棱长为1的正方形ABCD-ABCD中.E,F分别是DD,BD的中点.G在棱CD上.且CG＝CD,H是CG的中点. ⑴．求证:EF⊥BC ⑵．求证:EF与C G所成角的余弦值 ⑶．求FH的长 解:如图所示.建立空间直角坐标系D-xyz. E(0,0, ) F(,,0) C B G(0, ,0) (1).证明: =(,,-) = ∵·=·(-1)+ ·0+·(-1)=0 ∴⊥ ∴EF⊥BC (2). =(0,- ,-1) ∴∣∣== 由(1)得 ∣∣＝ ·＝ ∴cos== (3). ∵H是C G的中点 ∴H(,,)即H(0..) 又∵F(,,0) ∴FH=︱︱== 点评:利用空间向量解决立体几何问题.将抽象的逻辑论证转化为代数计算.以数助形.大大降低了空间想象能力.是数形结合的深化.

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