摘要：立体问题转化为平面问题 例17.如图.有一圆柱形的开口容器.其轴截面是边长为2的正方形.P是BC中点.现有一只蚂蚁位于外壁A处.内壁P处有一米粒.则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 ． 分析:研究最短距离.需要把立体图展为平面图.由两点间的线段最短.求线段的长. 解:把圆柱侧面展开.并把里面也展开.如图所示.则这只蚂蚁取得米粒所需经过的 最短路程为展开图中的线段.则 答案: 评注:研究立体问题常常以平面为基准.把立体问题 转化为平面问题.把曲线问题转化为直线问题. 这是解决问题的转化与化归思想. 例18.如图.在四棱锥中. 底面四边长为1的菱形., , ,为的中点.为的中点 (Ⅰ)证明:直线, (Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小, (Ⅲ)求点B到平面OCD的距离. 分析:要证线面平行,可以在面内找的平行线,取的中点,通过线线平行证出,也可以找平面的平行平面通过面面平行证出; 异面直线AB与MD所成角可以通过平移转化为平面角求出;而(Ⅲ)中点B到平面OCD的距离不易找出,可以利用线转化为点A到平面OCD的距离求出.还可以用向量法通过计算解答各题. 解法一:取OB中点E.连接ME.NE 又 (2) 为异面直线与所成的角 作连接 所以 与所成角的大小为 (3)点A和点B到平面OCD的距离相等.连接OP,过点A作 于点Q. 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 . .所以点B到平面OCD的距离为 解法二.作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 (1) 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 (2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 评注:立体几何问题一般都可以用两种方法综合法和向量法.都要经过转化,把立体问题转化为平面问题,将空间问题转化为代数运算从而证得求出. 例19.如图.已知四棱锥.底面为菱形.平面..分别是的中点． (Ⅰ)证明:, (Ⅱ)若为上的动点.与平面所成 最大角的正切值为.求二面角的余弦值． 分析:比较容易证出,可以转化为线面垂直证明出, (Ⅱ)的点为上的动点,而且与平面所成最大角不太容易找到,根据(Ⅰ)就要转化为点到的距离最短,然后求出确定位置.另外,对于点的位置不确定而且比较容易建立直角坐标系时,用坐标计算比较简单. 解:(Ⅰ)证明:由四边形为菱形..可得为正三角形． 因为为的中点.所以．又.因此． 因为平面.平面.所以． 而平面.平面且. 所以平面．又平面.所以． (Ⅱ)解:设.为上任意一点.连接． 由(Ⅰ)知平面.则为与平面所成的角． 在中..所以当最短时.最大. 即当时.最大．此时. 因此．又.所以.所以． 解法一:因为平面.平面.所以平面平面． 过作于.则平面.过作于.连接.则为二面角的平面角.在中...又是的中点.在中.. 又.在中..即所求二面角的余弦值为． 解法二:由(Ⅰ)知两两垂直.以为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系.又分别为的中点.所以 ..所以． 设平面的一法向量为. 则因此 取.则.因为... 所以平面.故为平面的一法向量．又. 所以．因为二面角为锐角. 所以所求二面角的余弦值为． 评注:本题为探索性问题.难度比较大.特别是在使用线面角时不易找出.这就需要我们耐心分析.仔细体会前后问之间的关系.能否打通思路.把问题进行适当地转化.做到立体问题平面化.几何问题代数化.利用化归思想解答问题.

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