摘要：设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射f:V→V.a∈V.记a的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a.b∈V及任意实数λ.μ都有f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b).则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题: ①设f是平面M上的线性变换.a.b∈V.则f(a+b)＝f(a)+f(b), ②若e是平面M上的单位向量.对a∈V.设f(a)＝a+e.则f是平面M上的线性变换, ③对a∈V.设f(a)＝-a.则f是平面M上的线性变换, ④设f是平面M上的线性变换.a∈V.则对任意实数k均有f(ka)＝kf(a). 其中的真命题是 . 解析:①当λ＝μ＝1时.f(a+b)＝f(a)+f(b)成立. ②∵f(a)＝a+e.∴f(λa+μb)＝λa+μb+e. λf(a)+μf(b)＝λ(a+e)+μ(b+e)＝λa+μb+(λ+μ)e. f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b). ∴f不是平面M上的线性变换. ③∵f(a)＝-a.∴f(λa+μb)＝-λa-μb. λf(a)＝-λa.μf(b)＝-μb. ∴f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b). ∴f是平面M上的线性变换. ④∵f是M上的线性变换.∴当λ＝k.μ＝0时.有f(λa+μb)＝f(ka)＝kf(a)+0f(b)＝kf(a). 答案:①③④

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