摘要：对于函数f(x)=bx3+ax2-3x. 在x=1和x=3处取得极值.且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2cos2t+,试求实数t的取值范围, 为实数集R上的单调函数.且b≥-1,设点P的坐标为(a,b).试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S. 解 =bx3+ax2-3x, 则f′(x)=3bx2+2ax-3, ∵f(x)在x=1和x=3处取得极值. ∴x=1和x=3是f′(x)=0的两个根且b≠0. . ∴f′(x)=-x2+4x-3. ∵f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过 2sintcost-2cos2t+, ∴f′(x)≤2sintcost-2cos2t+对x∈R恒成立. 而f′2+1,其最大值为1. 故2sintcost-2cos2t+≥1 2sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+,k∈Z k+≤t≤k+,k∈Z. 在R上单调.知a=0. 当b≠0时.由f(x)在R上单调 f′(x)≥0恒成立.或者f′(x)≤0恒成立. ∵f′(x)=3bx2+2ax-3, ∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-a2. 从而知满足条件的点P(a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-a2与直线b=-1所围成的封闭图形. 其面积为S=(1-a2)da=4.

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