摘要：函数的连续性 (1)函数连续性的概念: ①如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续. 注:函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件:Ⅰ)函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,Ⅱ)函数f(x)在x=x0处有极限,Ⅲ)函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0). ②右连续:如果函数f(x)在x=x0处及其右侧有定义.而且(或). ③若函数f内每一点都连续,且在a点右连续.b点左连续.则称f(x)在闭区间[a,b]上连续. 注:函数f内连续.只要求在(a,b)内每一点都连续即可.对在端点处是否连续不要求. (2)函数连续性的运算: ①若f都在点x0处连续.则f•g(x).也在点x0处连续. ②若u(x)都在点x0处连续.且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续. (3)初等函数的连续性: ①基本初等函数(指数函数.对数函数.三角函数等)在定义域里每一点处都连续. ②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数.都是初等函数.初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值. (3) 图甲表示的是f(x)在点x0处的左.右极限存在但不相等.即不存在 图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在.右极限不存在.也属于不存在 图丙表示的是存在.但函数f(x)在点x0处没有定义 图丁表示的是存在.但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值. 注意:函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别.“连续必有极限.有极限未必连续.
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已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
=0在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，
＜ln
＜
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
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（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
| f(x2)-f(x1) |
| x2-x1 |
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
| f(b)-f(a) |
| b-a |
当0＜a＜b时，
| b-a |
| b |
| b |
| a |
| b-a |
| a |
已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：
在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
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已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.
（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程：
在（x1,x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得
.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：
当0<a<b时，
（可不用证明函数的连续性和可导性）
在（x1，x2）恒有实数解
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
（可不用证明函数的连续性和可导性）．