如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°
（1）写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）探究：当BD什么条件时（其它条件不变），PF=

1

2

PE？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）

先填写完成第（1）小题中的空缺部分（数学表达式或理由），再按要求解答第（2）小题．
如图：AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，DF=BE．
（1）求证：∠D=∠B；
（2）请你连结AB、CD，探究AB与CD有何位置关系？并证明你的结论．
证明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠=90°，
∵DF=BE，
∴DF-=BE-，
即DE=BF．
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
方程组：
∴Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠D=∠B．
（2）

我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图①，AD为△ABC的高，∠ABC=2∠C，证明：CD=AB+BD”．我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE=BD，连结AE．
（1）请补写完这个证明：
（2）运用上述方法证明：如图②，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，证明：BD=AC-AB．

多彩数学，所有三角形都是等腰三角形
下面的推理过程，请你指出其错误之处．如图：△ABC中，∠BAC的平分线和BC边的垂直平分线相交于D，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：AB=AC．
证明：连结BD、CD．
∵DM⊥AB，∴∠DMA=90°．∵DN⊥AC，∴∠AND=90°．∴∠AMD=∠AND=90°．又AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．又∵AD=AD，∵△ADM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，DM=DN．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△BDM与Rt△CDN中，

BD=CD DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN．又∵AM=AN，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．你认为对吗？
分三种情况：
（1）AB=AC时成立；
（2）AB＞AC时，N在AC的延长线上；
（3）AB＜AC时，M在AB的延长线上．