摘要：已知函数f(x)＝x4+ax3+2x2+b(x∈R).其中a.b∈R. (1)当a＝-时.讨论函数f(x)的单调性, (2)若函数f(x)仅在x＝0时处有极值.求a的取值范围, (3)若对于任意的a∈[-2,2].不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立.求b的取值范围. 解:(1)f′(x)＝4x3+3ax2+4x＝x(4x2+3ax+4). 当a＝-时.f′(x)＝x(4x2-10x-4) ＝2x(2x-1)(x-2). 令f′(x)＝0.解得x1＝0.x2＝.x2＝2. 当x变化时.f′(x).f(x)的变化情况如下表: x 0 2 f′(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在内是增函数.在内是减函数. (2)f′(x)＝x(4x3+3ax+4).显然x＝0不是方程4x3+3ax+4＝0的根. 为使f(x)仅在x＝0处有极值.必须4x2+3ax+4≥0.即有Δ＝9a2-64≤0. 解此不等式.得-≤a≤.这时.f(0)＝b是唯一极值. 因此满足条件的a的取值范围是[-.]. (3)由条件a∈[-2,2].可知Δ＝9a2-64＜0.从而4x2+3ax+4＞0恒成立. 当x＜0时.f′(x)＜0,当x＞0时.f′(x)＞0. 因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者. 为使对任意的a∈[-2,2].不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立.当且仅当 即在a∈[-2,2]上恒成立. 所以b≤-4.因此满足条件的b的取值范围是(-∞.-4].

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