如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米，

（I）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（II）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

（Ⅲ）若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

【解析】本题主要考查函数的应用，导数及均值不等式的应用等，考查学生分析问题和解决问题的能力   第一问要利用相似比得到结论。

（I）由S_AMPN > 32 得 > 32 ，

∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0

∴2<X<8/3，即AN长的取值范围是(2,8/3)或(8，+)

第二问，  

当且仅当

(3)令

∴当x > 4，y′> 0，即函数y＝在（4，＋∞）上单调递增，∴函数y＝在[6，＋∞]上也单调递增．                

∴当x＝6时y＝取得最小值，即S_AMPN取得最小值27（平方米）．

设函数f(x)＝(x>0)

观察：f₁(x)＝f(x)＝，

f₂(x)＝f(f₁(x))＝，

f₃(x)＝f(f₂(x))＝，

f₄(x)＝f(f₃(x))＝，……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N^*且n≥2时，f_n(x)＝f(f_n－1(x))＝________.

下列推理是归纳推理的是（   ）

A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆

B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆的面积S=πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

下列推理是归纳推理的是(    )                                               

A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆

B.由a₁=a,a_n=3n-1,求出S₁,S₂,S₃,猜想出数列的前n项和S_n的表达式

C.由圆x²+y²=r²的面积,猜想出椭圆的面积

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

下列推理是归纳推理的是（   ）

A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆

B．由a₁=a,a_n=3n-1,求出S₁,S₂,S₃,猜想出数列的前n项和S_n的表达式

C．由圆x²+y²=r²的面积πr²,猜想出椭圆的面积S=πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇