摘要：3．已知函数f(x)＝x3+ax+b定义在区间[-1,1]上.且f(0)＝f(1).设x1.x2∈[-1,1]且x1≠x2. (1)求证:|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|, (2)若0<x1<x2≤1.求证:|f(x1)-f(x2)|<1. 证明:(1)由f(0)＝f(1).得b＝1+a+b.解得a＝-1.故f(x)＝x3-x+b.设x1.x2∈[-1,1]． 则|f(x1)-f(x2)|＝|x-x1-x+x2|＝|x1-x2|·|x+x1x2+x-1|. 因为-1≤x1.x2≤1.则0≤x≤1,0≤x≤1.-1≤x1x2≤1.所以-1≤x+x+x1x2≤3. 当且仅当x1＝x2＝±1时.右边取等号．∵x1≠x2.∴右边等号取不到． 若x+x+x1x2＝-1.则x+x+(x1x2+1)＝0. ∵x1x2+1≥0.∴x1＝x2＝0且x1x2+1＝0矛盾.∴左边等号也取不到． 所以两边等号均不成立．所以-1<x+x+x1x2<3. 所以-2<x+x+x1x2-1<2.所以|x+x+x1x2-1|<2. 即|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|. (2)因为f′(x)＝3x2-1.令f′(x)＝0.则x＝.由导数的知识容易验证. 当x＝时.[f(x)]min＝b-.又f(1)＝b.所以当x∈(0,1]时.b-≤f(x)≤b. 则b-≤f(x1)≤b.b-≤f(x2)≤b.因为x1≠x2.所以f(x1)≠f(x2)．所以-≤f(x1)-f(x2)≤.即|f(x1)-f(x2)|≤.又<1.所以|f(x1)-f(x2)|<1.
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已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；
已知函数f(x)＝
x3＋
x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.
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（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)
已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝
ax2＋3x.
（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；
（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
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g(x)恒成立，求实数a的取值范围．