摘要：[例1] 已知正项数列{an}.其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列.求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6. ① 代n=1得10a1=a12+5a1+6.a1=2或a1=3 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2).② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1).即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 . ∴an-an-1=5 (n≥2) 当a1=3时.a3=13.a15=73 a1. a3.a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时. a3=12. a15=72. 有 a32=a1a15 . ∴a1=2. ∴an=5n-3 [例2]等比数列{an}的各项均为正数.其前n项中.数值最大的一项是54.若该数列的前n项之和为Sn.且Sn=80.S2n=6560.求: (1)前100项之和S100. (2)通项公式an. 解:设公比为q.由已知得 Sn==80. ① S2n==6560. ② 由②÷①解得,qn=81,q>1, (∵an＞0),可知最大项为an=a1qn-1 ③ qn=81代入①③得a1=2.q=3. (1)前100项之和S100==3100-1. (2)通项公式为an=2·3n-1. 提炼方法:1.转化为基本量;2. 解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法. [例3] 在等差数列{an}中.公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列.求数列k1,k2,k3,-,kn的通项kn 解:由题意得: 即 又 an=na1 又成等比数列, ∴该数列的公比. 其中第n+2项: 又 所以数列的通项为 方法步骤:1.推a1=d, an=na1;q=a3÷a1=3,;2.比较在两数列中的式子. [例4]已知.点在函数的图象上() (1)证明数列是等比数列, (2)设.求及数列的通项, 解:(Ⅰ)由已知. .两边取对数得. 即 是公比为2的等比数列. 知 (*) = 由(*)式得 [研讨.欣赏]设数列{an}.a1＝.若以a1.a2.-.an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1＝0(n∈N*且n≥2)都有根α.β满足3α-αβ+3β＝1. (1)求证:{an-}为等比数列, (2)求an, (3)求{an}的前n项和Sn. 证明(1)∵α+β＝.αβ＝代入3α-αβ+3β＝1得an＝an-1+. ∴＝＝为定值. ∴数列{an-}是等比数列. 解(2)∵a1-＝-＝. ∴an-＝×()n-1＝()n. ∴an＝()n+. 解(3)Sn＝(++-+)+＝+＝-.

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