摘要：22．(理)已知数列{xn}满足x1＝.xn+1＝.n∈N*. (1)猜想数列{x2n}的单调性.并证明你的结论, (2)证明:|xn+1-xn|≤()n-1. (文)已知数列{an}满足a1＝1.a2＝2.an+2＝.n∈N*. (1)令bn＝an+1-an.证明:{bn}是等比数列, (2)求{an}的通项公式． 解:由x1＝及xn+1＝ 得x2＝.x4＝.x6＝. 由x2>x4>x6猜想.数列{x2n}是递减数列． 下面用数学归纳法证明: ①当n＝1时.已证命题成立． ②假设当n＝k时命题成立.即x2k>x2k+2. 易知xn>0.那么x2k+2-x2k+4＝-＝＝>0.即x2(k+1)>x2(k+1)+2. 也就是说.当n＝k+1时命题也成立．结合①和②知.命题成立． (2)当n＝1时.|xn+1-xn|＝|x2-x1|＝.结论成立, 当n≥2时.易知0<xn-1<1. ∴1+xn-1<2.xn＝>. ∴(1+xn)(1+xn-1)＝(1+)(1+xn-1) ＝2+xn-1≥. ∴|xn+1-xn|＝|-|＝≤|xn-xn-1|≤()2|xn-1-xn-2|≤-≤()n-1|x2-x1|＝()n-1. b1＝a2-a1＝1.当n≥2时.bn＝an+1-an＝-an＝-(an-an-1)＝-bn-1. ∴{bn}是以1为首项.-为公比的等比数列． 知bn＝an+1-an＝(-)n-1. 当n≥2时.an＝a1+(a2-a1)+(a3-a2)+-+(an-an-1)＝1+1+n-2 ＝1+＝1+[1-(-)n-1]＝-(-)n-1.当n＝1时.-(-)1-1＝1＝a1. ∴an＝-(-)n-1(n∈N*)．

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