摘要：注意既得关系式的连续使用. [例3]若函数在R上是奇函数.且在上是增函数.且. ①求的周期, ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性, 解: ①由已知f(x)=-f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y). ∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称. ③设1<x1<x2<2,则-2<-x2<-x1<-1, 0<2-x2<2-x1<1. ∵f(x)在上递增, ∴f(2-x1)<f(2-x2)--(*) 又f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2). (*)为f(x2)<f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数. 提炼方法:总结解周期性.单调性及图象对称性的方法. [研究.欣赏]已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数.周期T=5.函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数.在[1,4]上是二次函数.且在x=2时函数取得最小值-5. ① 证明:,②求的解析式, ③求在上的解析式. 解:∵是以为周期的周期函数.且在[-1,1]上是奇函数.∴.∴. ②当时.由题意可设. 由得.∴. ∴. ③∵是奇函数.∴. 又知在上是一次函数.∴可设.而. ∴.∴当时.. 从而时..故时.. ∴当时.有.∴. 当时.. ∴ ∴.

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