摘要：3．运算定律 结合律:λ(μ)= ① 第一分配律:=λ+μ ② 第二分配律:λ(+)=λ+λ ③ 结合律证明: 如果λ=0.μ=0.=至少有一个成立.则①式成立 如果λ¹0.μ¹0.¹有:|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| ||=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|| 如果λ.μ同号.则①式两端向量的方向都与同向, 如果λ.μ异号.则①式两端向量的方向都与反向 从而λ(μ)= 第一分配律证明: 如果λ=0.μ=0.=至少有一个成立.则②式显然成立 如果λ¹0.μ¹0.¹ 当λ.μ同号时.则λ和μ同向. ∴||=|λ+μ|||=|| |λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=|| ∵λ.μ同号 ∴②两边向量方向都与同向 即 ||=|λ+μ| 当λ.μ异号.当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向,当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向.且||=|λ+μ| ∴②式成立 第二分配律证明: 如果=.=中至少有一个成立.或λ=0.λ=1则③式显然成立 当¹.¹且λ¹0.λ¹1时 (1)当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O. 作 λ λ 则+ λ+λ 由作法知 .∥有ÐOAB=ÐOA1B1 ||=λ|| ∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ ÐAOB=Ð A1OB1 因此.O.B.B1在同一直线上.||=|λ| 与λ方向也相同 ∴λ(+)=λ+λ 当λ<0时 可类似证明:λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立

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