摘要：13．已知函数y＝f-1(x)是y＝f(x)的反函数．定义:若对给定的实数a(a≠0).函数y＝f(x+a)与y＝f-1(x+a)互为反函数.则称y＝f(x)满足“a和性质 ,若函数y＝f(ax)与y＝f-1(ax)互为反函数.则称y＝f(x)满足“a积性质 ． (1)判断函数g(x)＝x2+1(x>0)是否满足“1和性质 .并说明理由, (2)求所有满足“2和性质 的一次函数, (3)设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0.满足“a积性质 ．求y＝f(x)的表达式． 解:(1)函数g(x)＝x2+1(x>0)的反函数是g-1(x)＝(x>1).∴g-1(x+1)＝(x>0). 而g(x+1)＝(x+1)2+1(x>-1).其反函数为y＝-1(x>1). 故函数g(x)＝x2+1(x>0)不满足“1和性质 ． (2)设函数f(x)＝kx+b(x∈R)满足“2和性质 .k≠0. ∴f-1(x)＝(x∈R).∴f-1(x+2)＝. 而f(x+2)＝k(x+2)+b(x∈R).得反函数为y＝.由“2和性质 定义可知＝对x∈R恒成立.∴k＝-1.b∈R.即所求一次函数为f(x)＝-x+b(b∈R)． (3)设a>0.x0>0.且点(x0.y0)在y＝f(ax)图象上.则(y0.x0)在函数y＝f-1(ax)图象上.故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x.则a＝.∴f(x0)＝f(x).即f(x)＝. 综上所述.f(x)＝(k≠0).此时f(ax)＝.其反函数就是y＝.而f-1(ax)＝.故y＝f(ax)与y＝f-1(ax)互为反函数．

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