摘要：13．已知函数f(x)＝x|x+m|+n.其中m.n∈R. (Ⅰ)求证:m2+n2＝0是f(x)是奇函数的充要条件, (Ⅱ)若常数n＝-4.且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立.求m的取值范围． 证明:(Ⅰ)充分性:若m2+n2＝0.则m＝n＝0. ∴f(x)＝x|x|. 又有f(-x)＝-x|-x|＝-x|x|＝-f(x).∴f(x)为奇函数． 必要性:若f(x)为奇函数.∵x∈R.∴f(0)＝0.即n＝0.∴f(x)＝x|x+m|. 由f(1)＝-f(-1).有|m+1|＝|m-1|.∴m＝0. ∴f(x)为奇函数.则m＝n＝0.即m2+n2＝0. ∴m2+n2＝0是f(x)为奇函数的充要条件． 解:(Ⅱ)若x＝0时.m∈R.f(x)<0恒成立, 若x∈(0,1]时.原不等式可变形为|x+m|<-. 即-x+<m<-x-. ∴只需对x∈(0,1].满足 对①式f1(x)＝-x+在(0,1]上单调递减. ∴m<f1(1)＝3. ③ 对②式.设f2(x)＝-x-.根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增. ∴f2(x)max＝f(1).∴m>f2(1)＝-5 ④ 由③④知-5<m<3.

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