摘要：11．已知函数f(x)＝(x∈R).求f(x)的单调区间.并加以证明． 解:解法1:由函数的单调区间的定义入手分析.取x1<x2.分析f(x1)-f(x2)的符号.由此找出单调增区间与单调减区间． ∵f(x)＝(x∈R)是奇函数. ∴只需研究上f(x)的单调区间即可． 任取x1.x2∈.且x1<x2.则 f(x1)-f(x2)＝-＝. ∵x+1>0.x+1>0.x2-x1>0. 而x1.x2∈(0,1)时.x1x2-1<0, x1.x2∈[1.+∞)时.x1x2-1≥0. ∴当x1.x2∈(0,1)时.f(x1)-f(x2)<0.函数f(x)是增函数, 当x1.x2∈[1.+∞)时.f(x1)-f(x2)≥0.函数f(x)是减函数． 又f(x)是奇函数.∴f(x)在上是增函数.在 (-∞.-1]上是减函数． 又x∈[0,1).u∈(-1,0]上恒有f(x)≥f(u).等号只在x＝u＝0时取到.故f(x)在上是增函数． 综上知.函数f(x)在上是增函数.在上是减函数． 解法2:f′(x)＝()′＝. f′(x)>0⇒x∈上函数单调递增． f′(x)≤0⇒x∈[1.+∞)∪(-∞.-1]即在上函数单调递减． 综上知.函数f(x)的单调增区间为.单调减区间为．

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