摘要：例题1 如图.长方体中...M是AD中点.N是中点． (1)求证:.M.C.N四点共面, (2)求证:, (3)求证:平面⊥平面, (4)求与平面所成的角． (1)取中点E.连结ME.. ∴.MCEC． ∴MC． ∴.M.C.N四点共面． (2)连结BD.则BD是在平面ABCD 内的射影． ∵. ∴Rt△CDM-Rt△BCD.∠DCM=∠CBD． ∴∠CBD+∠BCM=90°．∴MC⊥BD． ∴． (3)连结.由是正方形.知⊥． ∵⊥MC. ∴⊥平面．∴平面⊥平面． (4)∠是与平面所成的角且等于45°． 例题2 如图.正三棱柱的底面边长为a.点M在边BC上.△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形． (1)求证点M为边BC的中点, (2)求点C到平面的距离, (3)求二面角的大小． 解析:(1)∵△为以点M为直角顶点的 等腰直角三角形. ∴且． ∵正三棱柱. ∴底面ABC． ∴在底面内的射影为CM.AM⊥CM． ∵底面ABC为边长为a的正三角形. ∴ 点M为BC边的中点． (2)过点C作CH⊥.由(1)知AM⊥且AM⊥CM. ∴ AM⊥平面 ∵ CH在平面内. ∴ CH⊥AM. ∴CH⊥平面.由(1)知..且． ∴点C到平面的距离为底面边长为． (3)过点C作CI⊥于I.连HI. ∵ CH⊥平面. ∴ HI为CI在平面内的射影. ∴ HI⊥.∠CIH是二面角的平面角． 在直角三角形中.. . ∴∠CIH＝45°. ∴二面角的大小为45° 例题3 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是棱AB的中点.过A1.M.C三点的平面交棱C1D1于N点.(Ⅰ)求证:四边形A1MCN为平行四边形,(Ⅱ)求点D1到平面A1MCN的距离,(Ⅲ)求直线CD1与平面A1MCN所成角的正弦值． 证明:(Ⅰ)∵正方体ABCD-A1B1C1D1. ∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1． ∵平面A1MCN∩平面ABCD＝CM. 平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N． ∴CM∥A1N．同理A1M∥CN． ∴四边形A1MCN为平行四边形． (Ⅱ)延长CN.DD1交于点P.过D作 DQ^AN.垂足为Q.连PQ.过D1作D1H^PQ. 垂足为H. ∵PD1^平面A1B1C1D1.ANÌ平面A1B1C1D1． ∴PD1^A1N． ∵D1Q^A1N.∴A1N^平面PD1Q． ∵A1NÌ平面A1MCN.∴平面A1MCN^平面PD1Q． ∵平面A1MCN∩平面PD1Q＝PQ.D1HÌ平面PD1Q. D1H^PQ.∴D1H⊥平面A1MCN. 则D1H长即为D1到平面A1MNC的距离．易得.D1H＝a． 另法:连结点D1和DC的中点G.则D1G/平面A1MCN. 点G到平面的距离等于所求距离. 另法:连结MN.MD1.在三棱锥M-A1D1N中. 由等体积法亦可求得所求距离. (Ⅲ)连CH.∵D1H^平面A1MCN. ∴ÐD1CH即为 CD1与平面A1MCN所成的角.在直角△D1CH中.sinÐD1CH＝D1H∶CD1＝． 例题4 如图.在斜三棱柱ABC-A1B1C1 中.侧面AA1B1B⊥底面ABC.侧棱AA1与底面ABC成600的角. AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形.其重心为G点.E是线段BC1上一点.且BE=BC1 ． (1)求证: GE∥侧面AA1B1B , (2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ． 解:(1)延长B1E交BC于F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB, BE＝EC1 ∴BF＝B1C1＝BC.从而F为BC的中点． ∵G为ΔABC的重心. ∴A.G.F三点共线.且. ∴GE∥AB1. 又GE侧面AA1B1B. ∴GE∥侧面AA1B1B (2)在侧面AA1B1B内.过B1作B1H⊥AB.垂足为H.∵侧面AA1B1B⊥底面ABC. ∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角. AA1= 2. ∴∠B1BH＝600.BH＝1.B1H＝． 在底面ABC内.过H作HT⊥AF.垂足为T.连B1T．由三垂线定理有B1T⊥AF. 又平面B1GE与底面ABC的交线为AF.∴∠B1TH为所求二面角的平面角． ∴AH＝AB+BH＝3.∠HAT＝300. ∴HT＝AHsin300＝. 在RtΔB1HT中.tan∠B1TH＝＝ . 从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan

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