摘要：(二)新课讲解: 1．组合数的性质1:． 理解:一般地.从n个不同元素中取出个元素后.剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合.与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应.所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数.等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数.即:． 在这里.我们主要体现:“取法 与“剩法 是“一一对应 的思想. 证明:∵ 又 .∴. 说明:①规定:, ②等式特点:等式两边下标同.上标之和等于下标, ③此性质作用:当时.计算可变为计算.能够使运算简化. 例如:＝＝=2002, ④或． 2．示例:一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球.共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球.使其中含有1个黑球.有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球.使其中不含黑球.有多少种取法? 解:(1),(2),(3)． 引导学生发现:.并要求用组合的知识解释.根据计算的结果猜想一般的结论.并予以证明. 我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球.可以分为两类:一类含有1个黑球.一类不含有黑球．因此根据分类计数原理.上述等式成立. 一般地.从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是.这些组合可以分为两类:一类含有元素.一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的.共有个,不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的.共有个．根据分类计数原理.可以得到组合数的另一个性质．在这里.我们主要体现从特殊到一般的归纳思想.“含与不含其元素 的分类思想． 3．组合数的性质2:＝+． 证明: ∴＝+． 说明:①公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和.等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数, ②此性质的作用:恒等变形.简化运算. 4．例题分析: 例1 (1)计算:, (2)求证:＝++． 解:(1)原式, 证明:(2)右边左边. 例2 解方程:(1),(2)解方程:． 解:(1)由原方程得或.∴或. 又由得且.∴原方程的解为或. 注:上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多. (2)原方程可化为.即.∴. ∴.∴.解得或. 经检验:是原方程的解.

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