摘要: 如图.已知⊙M:x2+(y-2)2=1.Q是x轴上的动点.QA.QB分别切⊙M于A.B两点. ⑴如果.求直线MQ的方程, ⑵求动弦AB的中点P的轨迹方程. 解:⑴解(1)由可得 由射影定理得在Rt△MOQ中. . 故.所以直线AB方程是 ⑵连接MB.MQ.设由点M.P.Q在一直线上.得 由射影定理得即 把消去a.并注意到.可得 [探索题]已知圆的方程是:x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.其中a≠1.且a∈R. (1)求证:a取不为1的实数时.上述圆恒过定点, (2)求与圆相切的直线方程, (3)求圆心的轨迹方程. 解:将方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a=0 令 x2+y2-4y+2=0 x-y=0 解之得 x=1 y=1 ∴定点为(1.1) (2)易得已知圆的圆心坐标为.半径为|a-1|. 设所求切线方程为y=kx+b.即kx-y+b=0 则圆心到直线的距离应等于圆的半径.即=|a-1|恒成立. 整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+22恒成立. 比较系数可得 2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2 2(1+k2)=(b-2)2 解之得k=1.b=0.所以.所求的切线方程是y=x. .又设圆心坐标为(x.y).则有 x=a y=2-a 消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程.

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