摘要：(三)解答题: 7.设动点到点和的距离分别为和..且存在常数.使得． (1)证明:动点的轨迹为双曲线.并求出的方程, (2)过点作直线双曲线的右支于两点.试确定的范围.使.其中点为坐标原点． 解法一:(1)在中..即. .即. 点的轨迹是以为焦点.实轴长的双曲线． 方程为:． (2)设. ①当垂直于轴时.的方程为..在双曲线上． 即.因为.所以． ②当不垂直于轴时.设的方程为． 由得:. 由题意知:. 所以.． 于是:． 因为.且在双曲线右支上.所以 ． 由①②知.． 解法二:(1)同解法一 (2)设..的中点为． ①当时.. 因为.所以, ②当时.． 又．所以, 由得.由第二定义得 ． 所以． 于是由得 因为.所以.又. 解得:．由①②知． 8.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆 .其中..．如图.点..是相应椭圆的焦点..和.分别是“果圆 与.轴的交点． (1)若是边长为1的等边三角形.求“果圆 的方程, (2)当时.求的取值范围, (3)连接“果圆 上任意两点的线段称为“果圆 的弦．试研究:是否存在实数.使斜率为的“果圆 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在.求出所有可能的值,若不存在.说明理由． 解:(1) . . 于是.所求“果圆 方程为 .． (2)由题意.得 .即． ..得． 又． ． (3)设“果圆 的方程为.． 记平行弦的斜率为． 当时.直线与半椭圆的交点是 .与半椭圆的交点是． 的中点满足 得 ． . ． 综上所述.当时.“果圆 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． 当时.以为斜率过的直线与半椭圆的交点是． 由此.在直线右侧.以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上.即不在某一椭圆上． 当时.可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 9.已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦过椭圆的右焦点.(Ⅰ) 当轴时, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上,(Ⅱ) 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由. 解:(Ⅰ)当AB⊥x轴时.点A.B关于x轴对称.所以m＝0.直线AB的方程为: x =1.从而点A的坐标为(1.)或(1.-). 因为点A在抛物线上. 所以.即.此时C2的焦点坐标为(.0).该焦点不在直线AB上. (II)解法一: 假设存在.的值使的焦点恰在直线AB上.由(I)知直线AB 的斜率存在.故可设直线AB的方程为． 由消去得------① 设A.B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则x1,x2是方程①的两根.x1+x2＝. 由 消去y得. ------② 因为C2的焦点在直线上. 所以.即.代入②有. 即. -------③ 由于x1,x2也是方程③的两根.所以x1+x2＝. 从而＝. 解得 --------④ 又AB过C1..＼..C2的焦点.所以 . 则 -------------⑤ 由④.⑤式得.即． 解得于是 因为C2的焦点在直线上.所以. 或． 由上知.满足条件的.存在.且或.． 解法二: 设A.B的坐标分别为.． 因为AB既过C1的右焦点.又过C2的焦点. 所以. 即. --① 由(Ⅰ)知.于是直线AB的斜率. --② 且直线AB的方程是, 所以. --③ 又因为.所以. --④ 将①.②.③代入④得． -----⑤ 因为.所以． ----⑥ 将②.③代入⑥得 -----⑦ 由⑤.⑦得即 解得．将代入⑤得 或． 由上知.满足条件的.存在.且或.

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