摘要： 解:(Ⅰ) .----------------- 2分 (Ⅱ)依题意.则 .- 3分 在正三角形中.有 . .-------------------- 4分 . . ① 同理可得 . ② ①-②并变形得 . . ------------- 6分 . ∴数列是以为首项.公差为的等差数列. . -------------- 7分 . . . ---------- 8分 (Ⅲ)解法1 :∵. ∴. . ∴当时.上式恒为负值. ∴当时.. ∴数列是递减数列. 的最大值为. ------------------- 11分 若对任意正整数.当时.不等式恒成立.则不等式在时恒成立.即不等式在时恒成立. 设.则且. ∴ 解之.得 或. 即的取值范围是.----------------- 14分
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如图，
，
，…，
，…是曲线
上的点，
，
，…，
，…是
轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…
均为斜边在轴上的等腰直角三角形（
为坐标原点）．
（1）写出
、
和
之间的等量关系，以及、和
之间的等量关系；
（2）求证：
（
）；
（3）设
，对所有，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】第一问利用有
，
得到
第二问证明：①当
时，可求得
，命题成立；②假设当
时，命题成立，即有
则当
时，由归纳假设及
，
得
第三问
．………………………2分
因为函数
在区间
上单调递增，所以当时，
最大为
，即
解：（1）依题意，有，，………………4分
（2）证明：①当时，可求得，命题成立；
……………2分
②假设当时，命题成立，即有，……………………1分
则当时，由归纳假设及，
得．
即
解得
（
不合题意，舍去）
即当时，命题成立． …………………………………………4分
综上所述，对所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即
．……………2分
由题意，有
．
所以，
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