摘要： 已知函数. (Ⅰ) 设.试证明在区间 内是增函数, (Ⅱ) 若存在唯一实数使得成立.求正整数的值, (Ⅲ) 若时.恒成立.求正整数的最大值. 证明: (1) ∴ , 则 ∴ 在内单调递增 解:(2) ∵.,∴由(1)可得在内单调递增, 即存在唯一根 ∴ 解:(3) 由得且 恒成立,由(2)知存在唯一实数, 使且当时. .∴ .当时.,∴. ∴ 当时,取得最小值 ∵ , ∴ . 于是. ∵ , ∴ ∴ ,故正整数的最大值为3.

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