理科部分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

     BAACA         CDBCD       AC

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

     13．25        14．        15．8         16．

三、解答题

17．（本小题满分12分）

    解：（I）

   （Ⅱ）

18．（本小题满分12分）

    解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，

设此数列为，则易知

    此次决赛共比赛了5场。

   （Ⅱ）由

    若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场。

    ①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2：3，且第6场比赛为领先一场的

球队获胜，其概率

    ②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3：3，则概率

    门票收入不少于390万元的概率为

19．（本小题满分12分）

    解：方法一（向量法）；

   （I）证明：以点为原点，棱所

在的直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系

（右手系），设，则，

    又已知，可求得以下各点的

坐标为

   （Ⅱ）已知是直四棱柱，

    ，又由（I）知，

    即是平面的法向量。

    设平面的法向量为则且

    由图形可知，二面角的平面为锐角，

    二面角的大小为

方法二（综合法）：

    （I）是直四棱柱， 

   （Ⅱ）在内，过点作的垂线，  交点，连结。

    由（I）知

垂线定理知，

    就是二面角的平面角。

    同（I）一样，不妨设

    在内，

    二面角的大小为

20．（本小题满分12分）

    解：（I）

    令

    显然当

   （Ⅱ）①当时，  函数在上是单调减函数，

在上的最小值 ， 

    又

    综上，对任意

本问也可以这样证：

   （Ⅱ）函数在上单调递增，在和上单调递减，

对任意

21．（本小题满分12分）

    解：（I）设椭圆的方程为椭圆方程化为将点代入，解得，椭圆的方程为

   （Ⅱ）显然，直线存在斜率（否则不满足题意，5分），设其斜率为，则直线的方程为。代入椭圆的方程，消去并整理得

    由方程判别式，  得   ①

    设两点的坐标为，则由韦达定理得

     将上面使用韦达定理所得的结果代入，并去分

母整理（注意在方程两边先约去9可以简化计算）得

    检验①式，均符合；再检验当时，直线是否与椭圆相交于左右两个顶点，显然直线过椭圆的右顶点。

    不满足题意，舍去 

    直线的方程为

22．（本小题满分14分）

    解：（I）方法一：当时，显然由已知可得成立。

    假设时成立，即

    则当时，根据题意有

    当时，成立。

    根据数学归纳法可知，对任意，成立

    方法二：

    ……，， 将这个等式累乘（相乘），得

    将代入得   

    检验当时，上式也成立， 

    方法三：

   （Ⅱ）由（I）知

    又由

    （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知，有不等式

    成立

    将这个同向不等式累加起来，得