已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过坐标原点，当x=

1

3

时有最小值-

1

3

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

3

anan+1

，T_n 是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点M（x₀，y₀），且点M在x轴的下方，
（1）求证：f（x）的图象与x轴交于不同的两点；
（2）设f（x）的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），求证：x₀介于x₁，x₂之间．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（0，0），其导函数f'（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（其中n∈N^*）时，f（x）为整数的个数记为a_n．
（1）求a，b，c的值；
（2）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（3）令bn=

1

an•an+1

，记{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜

1

10

．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-1，3），（0，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若?x∈[0，3]，3t-t²-3≤f（x）≤12-t²成立，求t的取值范围．