摘要：22．解:(Ⅰ) ∵为的极值点.∴ ∴且 ∴. 又当时..从而为的极值点成立. --------4分 (Ⅱ)因为在上为增函数. 所以在上恒成立. --------6分 若.则. ∴在上为增函数不成立, 若.由对恒成立知. 所以对上恒成立. 令.其对称轴为. 因为.所以.从而在上为增函数. 所以只要即可.即 所以 又因为.所以． --------10分 (Ⅲ)若时.方程 可得 即在上有解 即求函数的值域． 法一: 令 由 ∵ ∴当时..从而在(0,1)上为增函数, 当时..从而在上为减函数. ∴.而可以无穷小. ∴的取值范围为. --------15分 法二: 当时..所以在上递增, 当时..所以在上递减, 又.∴令.. ∴当时..所以在上递减, 当时..所以在上递增, 当时..所以在上递减, 又当时.. 当时, ,则.且 所以的取值范围为. --------15分
网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_3217513[举报]
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
查看习题详情和答案>>