如图，点A在x轴的负半轴上，OA＝4，AB＝OB＝．将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A₁B₁O，再继续旋转90°，得到△A₂B₂O．抛物线y＝ax²＋bx＋3经过B、B₁两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点B₂是否在此抛物线上，请说明理由；

(3)在该抛物线上找一点P，使得△PBB₂是以BB₂为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标；

(4)在该抛物线上，是否存在两点M、N，使得原点O是线段MN的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．