摘要：把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°.∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q. ,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时AP·CQ= . (2)将三角板DEF由图1-3-12(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变?说明你的理由. 的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.供解题用). 图1-3-12 分析:(1)问比较简单但很重要; (2)类似上问的方法思想. 解:(1)8 (2)AP·CQ的值不会改变, 理由如下: 如右图,在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°, ∠APD=180°-45°-=90°-α, ∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ. ∴△APD∽△CDQ.∴. ∴AP·CQ=AD·CD=AD2=(AC)2=8. (3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4,此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DG⊥AP于G,DN⊥BC于N, ∴DG=DN=2. 由(2)知AP·CQ=8得AP=. 于是y=AB·AC-CQ·DN-AP·DG=8-x-. 情形二:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ, 由于AP=,PB=-4,易证:△PBM∽△DNM, ∴. 解得BM=. ∴MQ=4-BM-CQ=4-x-. 于是y=MQ·DN=4-x-. 综上所述,当2<x<4时,y=8-x-. 当0<x≤2时,y=4-x-(或y=).

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