摘要： 滑动三角板 例8 操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上.并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动.直角的一边始终经过点B.另一边与射线DC相交于点Q． 图9??????????图10???????????图11 探究:设A.P两点间的距离为x． (1)当点Q在边CD上时.线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论, (2)当点Q在边CD上时.设四边形PBCQ的面积为y.求y与x之间的函数解析式.并写出自变量x的取值范围, (3)当点P在线段AC上滑动时.△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能.指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x的值,如果不可能.试说明理由． (图9.图10.图11的形状大小相同.图9供操作.实验用.图10和图11备用) 分析:这是一道考查学生数学综合素质的好题. (1)解:PQ＝PB 证明如下:过点P作MN∥BC.分别交AB于点M.交CD于点N.那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形.△AMP和△CNP都是等腰直角三角形． ∴ NP＝NC＝MB．∵ ∠BPQ＝90°.∴ ∠QPN+∠BPM＝90°． 而∠BPM+∠PBM＝90°.∴ ∠QPN＝∠PBM． 又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°.∴ △QNP≌△PMB． ∴ PQ＝PB． (2)解法一 由(1)△QNP≌△PMB．得NQ＝MP． ∵ AP＝x.∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝.BM＝PN＝CN＝1-. ∴ CQ＝CD-DQ＝1-2·＝1-． 得S△PBC＝BC·BM＝×1×(1-)＝-x． S△PCQ＝CQ·PN＝×(1-)(1-)＝-+x2 S四边形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ＝x2-+1．即 y＝x2-+1(0≤x＜)． 解法二 作PT⊥BC.T为垂足.那么四边形PTCN为正方形． ∴ PT＝CB＝PN． 又∠PNQ＝∠PTB＝90°.PB＝PQ.∴△PBT≌△PQN． S四边形PBCQ＝S△四边形PBT+S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ+S△PQN＝S正方形PTCN ?     ＝CN2＝(1-)2＝x2-+1 ∴ y＝x2-+1(0≤x＜)． (3)△PCQ可能成为等腰三角形 ①当点P与点A重合.点Q与点D重合.这时PQ＝QC.△PCQ是等腰三角形.  此时x＝0 ②当点Q在边DC的延长线上.且CP＝CQ时.△PCQ是等腰三角形 解法一 此时.QN＝PM＝.CP＝-x.CN＝CP＝1-． ∴ CQ＝QN-CN＝-(1-)＝-1． 当-x＝-1时.得x＝1． 解法二 此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°.∠APB＝90°-22.5°＝67.5°. ∠ABP＝180°-＝67.5°.得∠APB＝∠ABP. ∴ AP＝AB＝1.∴ x＝1．

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