摘要：开放性问题分为条件开放型.结论开放型.情景开放型.方法策略开放型.综合开放型.“开放性 体现在:问题所提供的条件具有不确定性.解决问题的策略具有多样性.不同但合理的答案的多样性.问题结构的可变性等方面.强调关注学生的个性差异.有效地实施有差异性的教学.是每个学生都得到充分的发展.面对全体学生多元化的学习要求.开放性问题能较好地达到这一要求.在解决这类问题时.学生需要通过一系列分析.展开发散思维.运用所学知识经过推理.得出正确的结论. 例如:如图.在△ABC中.AB=AC.AD⊥BC.D为垂足.由以上两个条件可得 . 分析:这是一道探索.确定结论的开放型试题.解决这类问题的方法是根据条件.结合已学的知识.数学思想方法.通过分析.归纳逐步得出结论.或通过观察.实验.猜想.论证的方法求解. 在今后的教学中.通过开放性问题让学生经历适当的数学交流活动.感受到别人的思维方式和思维过程.以改变自己认识上的单一性.教师要加强“一题多解 “一题多变 “一题多用 “多题同法 “多题同果 等的训练.经过归纳.类比.模拟联想等推理地手段.得出正确结论.
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小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：
“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH“
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
…
（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为
（如图3），试求EG的长度．
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“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG=FH“
经过思考，大家给出了以下两个方案：
（甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
（乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
…
（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；
（2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB=2，BC=3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论；
（3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为
| ||
| 2 |
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=2
，CG=4
时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．
（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立
？试写出你的猜想，并说明理由．
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（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=2
| 3 |
| 3 |
（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立
？试写出你的猜想，并说明理由．
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已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧
上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG2=BF•BO成立？（要求画出示意图并说明理由）
（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG2=BF•BO的正确结论？（要求：不再标注其他字母，
找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG2=BF•BO的7个结论）
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（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧
 | AD |
（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG2=BF•BO的正确结论？（要求：不再标注其他字母，
找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG2=BF•BO的7个结论）
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在数学的学习中，我们要学会总结，不断地归纳，思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，下面这个问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：
①2+1 2
； ②3+
2
③8+8 2
通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想a+b 2
；
（2）学习了《二次根式》后我们可以对此猜想进行代数证明，请欣赏：
对于任意非负实数a，b，∵(
-
)2≥0，∴a-2
+b≥0，∴a+b≥2
，只有当a=b时，等号成立．
（3）学习《圆》后，我们可以对这个结论进行几何验证：
如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．
根据图形证明：a+b≥2
，并指出等号成立时的条件．
（4）蓦然回首，我们发现在上学期的《梯形的中位线》一节遇到的一个问题，此时运用这个结论解决是那样的简单：
如图有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为1800cm2，现在要用细包装带如图那样包扎（四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为 cm．
（注意：包扎时背面也有带子，打结处长度忽略不计）
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（1）比较大小：
①2+1
| 2×1 |
| 1 |
| 3 |
3×
|
| 8×8 |
通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想a+b
| ab |
（2）学习了《二次根式》后我们可以对此猜想进行代数证明，请欣赏：
对于任意非负实数a，b，∵(
| a |
| b |
| ab |
| ab |
（3）学习《圆》后，我们可以对这个结论进行几何验证：
如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．
根据图形证明：a+b≥2
| ab |
（4）蓦然回首，我们发现在上学期的《梯形的中位线》一节遇到的一个问题，此时运用这个结论解决是那样的简单：
如图有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为1800cm2，现在要用细包装带如图那样包扎（四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为
（注意：包扎时背面也有带子，打结处长度忽略不计）
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