摘要：例4.已知矩形纸片ABCD.AB=2.AD=1.将纸片折叠.使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD.AB交与点F.G..求DE的长, (2)如果折痕FG分别与CD.AB交与点F.G.△AED的外接圆与直线BC相切. 求折痕FG的长． 解:⑴在矩形ABCD中.AB=2,AD=1AF=,∠D=900.根据轴对称的性质得:EF=AF=.∵DF=AD-AF=.在RT△DEF中DE=. ⑵设AE与FG的交点为O.根据轴对称的性质.得AO=EO,取AD的中点M.连接MO,则MO=DE, MO∥DC.设DE=x.则MO=x.在矩形ABCD中.∠C=∠D=,∴AE为的外接圆的直径.O为圆心.延长MO交BC于点N.则ON∥CD.∴∠CNM=1800-∠C=,∴ON⊥BC.四边形MNCD是矩形.∴MN=CD=AB=2.∴ON=MN-MO=2-x.∵的外接圆与BC相切.∴ON是的外接圆的半径.∴OE=ON=2-x.AE=2ON=4-x.在在RT△AED中.AD2+DE2=AE2.∴12+x2 =(4-x)2.解这个方程.得x=.∴DE=, OE=2-x=,根据轴对称的性质.得AE⊥FG.∴∠FOE=∠D=,又∵∠FEO=∠AED.∴△FEO∽△AED, ∴,∴,可得FO=,又∵AB∥CD.∴∠EFO=∠AGO.∠FEO=∠GAO.∴△FEO≌△GAO, ∴FO=GO, ∴FG=2FO=,折痕的长是. 矩形纸沿某一直线对折这样的问题.需考虑折叠前后哪些量相同,哪些量变化了.此折叠问题与圆的切线.圆的外接圆.全等三角形.相似三角形.勾股定理.轴对称.矩形的判定等联系在一起.综合考查了学生的分析问题.解决问题的能力.
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已知矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．
（1）如图1，点E是BC边上的一点，BE=2，AE、BD交于点F．①求AF：FE的值；②求△BEF的面积；
（2）如图2，将矩形纸片沿MN折叠，使点B与边CD的中点重合，点A、B的对应点为A1、B1，A1B1与DN交于点G，求△MCB1和△B1DG的周长之比．
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（1）如图1，点E是BC边上的一点，BE=2，AE、BD交于点F．①求AF：FE的值；②求△BEF的面积；
（2）如图2，将矩形纸片沿MN折叠，使点B与边CD的中点重合，点A、B的对应点为A1、B1，A1B1与DN交于点G，求△MCB1和△B1DG的周长之比．
（2013•安徽）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E，F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：①当四边形A′CDF为正方形时，EF=
| 2 |
②当EF=
| 2 |
③当EF=
| 5 |
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF=
| 5 |
其中正确的是
①③④
①③④
（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：
（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB1和△B1DG的周长之比．
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操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：
（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，求△FCB1和△B1DG的周长之比．
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12、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为
知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：