摘要:教法:诱思探究.适时激励.设疑思考法.数学思想逐步渗透法 学法:自主发现.合作交流.
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我们知道,对于二次函数y=a(x+m)2+k的图象,可由函数y=ax2的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到,我们称函数y=ax2为“基本函数”,而称由它平移得到的二次函数y=a(x+m)2+k为“基本函数”y=ax2的“朋友函数”.左右、上下平移的路径称为朋友路径,对应点之间的线段距离
称为朋友距离.
由此,我们所学的函数:二次函数y=ax2,函数y=kx和反比例函数y=
都可以作为“基本函数”,并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”.
如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数,由y=2x-5=2(x-1)-3朋友路径可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,朋友距离=
=
.
(1)探究一:小明同学经过思考后,为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向 ,再向下平移7单位,相应的朋友距离为 .
(2)探究二:已知函数y=x2-6x+5,求它的基本函数,朋友路径,和相应的朋友距离.
(3)探究三:为函数y=
和它的基本函数y=
,找到朋友路径,并求相应的朋友距离.
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| m2+k2 |
由此,我们所学的函数:二次函数y=ax2,函数y=kx和反比例函数y=
| k |
| x |
如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数,由y=2x-5=2(x-1)-3朋友路径可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,朋友距离=
| 12+32 |
| 10 |
(1)探究一:小明同学经过思考后,为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向
(2)探究二:已知函数y=x2-6x+5,求它的基本函数,朋友路径,和相应的朋友距离.
(3)探究三:为函数y=
| 3x+4 |
| x+1 |
| 1 |
| x |
下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则:游戏在两位同学之间进行,用伸出拳头表示“锤子”,伸出食指和中指表示“剪子”,伸出手掌表示“布”,两人同时口念“锤子、剪子、布”,一念到“布”时,同时出手,“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”,“剪子”赢“布”.
现在我们约定:“布”赢“锤子”得9分,“锤子”赢“剪子”得5分,“剪子”赢“布”得2分.
(1)小明和某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次.聪明的同学,请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?
(2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请你探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法填入下表.
赢法一:
赢法二:
赢法三:
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现在我们约定:“布”赢“锤子”得9分,“锤子”赢“剪子”得5分,“剪子”赢“布”得2分.
(1)小明和某同学玩此游戏过程中,小明赢了21次,得108分,其中“剪子”赢“布”7次.聪明的同学,请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次?
(2)如果小明与某同学玩了若干次,得了30分,请你探究一下小明各种可能的赢法,并选择其中的三种赢法填入下表.
赢法一:
| “布”赢 “锤子” |
“锤子”赢“剪子” | “剪子”赢“布” | |
| 赢的次数 |
| “布”赢 “锤子” |
“锤子”赢“剪子” |
“剪子”赢“布” | |
| 赢的次数 |
| “布”赢 “锤子” |
“锤子”赢“剪子” |
“剪子”赢“布” | |
| 赢的次数 |
(2013•澄海区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16…,这样的数称为“正方形数”.
(1)第5个三角形数是
,第5个“正方形数”是
(2)经探究我们发现:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④
请写出上面第4个和第5个等式;
(3)在(2)中,请探究第n个等式,并证明你的结论.
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(1)第5个三角形数是
15
15
,第n个“三角形数”是| n(n+1) |
| 2 |
| n(n+1) |
| 2 |
25
25
,第n个正方形数是n2
n2
;(2)经探究我们发现:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.
例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④
25=10+15
25=10+15
,⑤36=15+21
36=15+21
,….请写出上面第4个和第5个等式;
(3)在(2)中,请探究第n个等式,并证明你的结论.
【探究规律一】:设十字框中间的奇数为a,则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为
5a
5a
.【结论】:这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍,这个自然数p是
5
5
.【探究规律二】:落在十字框中间且又是第二列的奇数是15,27,39,51…则这一列数可以用代数式表示为12m+3(m为正整数),同样,落在十字框中间且又是第三列,第四列的奇数分别可表示为
12m+5,13m+7
12m+5,13m+7
.【运用规律】:
(1)已知被十字框框中的五个奇数之和为6025,则十字框中间的奇数是
1025
1025
;这个奇数落在从左往右第3
3
列.(2)被十字框框中的五个奇数之和可能是485吗?可能是3045吗?说说你的理由.