摘要： 同余式及其应用 定义:设a.b.m为整数.若a和b被m除得的余数相同.则称a和b对模m同余.记为或 一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类.即n=pm+r.恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1.n2.有n1=q1m+r.n2=q2m+r.那么n1.n2 对模m的同余.即它们用m除所得的余数相等. 利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质: (1) 若,则m|,则; (2) 如果a=km+b,则; (3) 每个整数恰与0,1,-.m-1.这m个整数中的某一个对模m同余, (4) 同余关系是一种等价关系: ① 反身性 , ② 对称性.则.反之亦然. ③ 传递性..则, (5)如果..则 ①, ②特别地 应用同余式的上述性质.可以解决许多有关整数的问题. 例1(1898年匈牙利奥林匹克竞赛题)求使2n+1能被3整除的一切自然数n. 解∵ ∴ 则2n+1 ∴当n为奇数时.2n+1能被3整除, 当n为偶数时.2n+1不能被3整除. 例2 求2999最后两位数码. 解 考虑用100除2999所得的余数. ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴2999的最后两位数字为88. 例3 求证31980+41981能被5整除. 证明 ∵ ∴ ∴ ∴

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