摘要：例3．(1)操作与证明:如图所示.O是边长为a的正方形ABCD的中心.将一块半径足够长.圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处.并将纸板绕O点旋转.求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a． (2)尝试与思考:如图a.b所示.将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处.并将纸板绕O旋转..当扇形纸板的圆心角为 时.正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a,当扇形纸板的圆心角为 时.正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a． (a) (b) (3)探究与引申:一般地.将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处.若将纸板绕O点旋转.当扇形纸板的圆心角为 时.正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值.写出它与正n边形面积S之间的关系,若不是定值.请说明理由． 解:(1)如图所示.不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB.AD分别交于点M.N.连结OA.OD． ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OD.∠AOD=90°.∠MAO=∠NDO. 又∠MON=90°.∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地.当点M与点A(点B)重合时.点N必与点D(点A)重合.此时AM+AN仍为定值a． 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a． (2)120°,70° (3),正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值.这个定值是．

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