摘要：如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心.过点到顶点的连线为半径.能够作一个圆.很明显.这个正多边形的各个顶点都在这个圆上.如图.正六边形ABCDEF.连结AD.CF交于一点.以O为圆心.OA为半径作圆.那么肯定B.C.D.E.F都在这个圆上． 因此.正多边形和圆的关系十分密切.只要把一个圆分成相等的一些弧.就可以作出这个圆的内接正多边形.这个圆就是这个正多边形的外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明． 如图所示的圆.把⊙O分成相等的6段弧.依次连接各分点得到六边ABCDEF.下面证明.它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 又∴∠A=BCF==2BC ∠B=CDA==2CD ∴∠A=∠B 同理可证:∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上 ∴根据正多边形的定义.各边相等.各角相等.六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆． 为了今后学习和应用的方便.我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 例1．已知正六边形ABCDEF.如图所示.其外接圆的半径是a.求正六边形的周长和面积． 分析:要求正六边形的周长.只要求AB的长.已知条件是外接圆半径.因此自然而然.边长应与半径挂上钩.很自然应连接OA.过O点作OM⊥AB垂于M.在Rt△AOM中便可求得AM.又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 解:如图所示.由于ABCDEF是正六边形.所以它的中心角等于=60°.△OBC是等边三角形.从而正六边形的边长等于它的半径． 因此.所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中.OA=a.AM=AB=a 利用勾股定理.可得边心距 OM==a ∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形． 分析:要画正五边形.首先要画一个圆.然后对圆五等分.因此.应该先求边长为3的正五边形的半径． 解:正五边形的中心角∠AOB==72°. 如图.∠AOC=30°.OA=AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55(cm) 画法(1)以O为圆心.OA=2.55cm为半径画圆, (2)在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB.BC.CD.DE.EA． (3)分别连结AB.BC.CD.DE.EA． 则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形.如图所示．

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