三角形的内切圆
（1）定义：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫三角形的．
（2）三角形的内心是三角形的交点，它到三角形的距离相等，都等于该三角形．
（3）如图，若△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，AC=b，其内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F．则AF=AE=，BD=BF=，CD=CE=．∠BOC与∠A的关系是，∠EDF与∠A的关系是△ABC的面积S与内切圆半径r的关系是．
（4）直角三角形的外接圆半径等于，内切圆半径等于．

圆的有关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．
（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．
（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）
（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．
（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆..

材料一：在平面直角坐标系中，如果已知A，B两点的坐标为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），设AB=t，那么我们可以通过构造直角三角形用勾股定理得出结论：（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=t²
材料二：根据圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合（其中定点为圆心，定长为半径）．如果把圆放在平面直角坐标系中，我们设圆心坐标为（a，b），半径为r，圆上任意一点的坐标为（x，y），那么我们可以根据材料一的结论得出：（x-a）²+（y-b）²=r²，这个二元二次方程我们把它定义为圆的方程．比如：以点（3，4）为圆心，4为半径的圆，我们可以用方程（x-3）²+（y-4）²=4²来表示．事实上，满足这个方程的任意一个坐标（x，y），都在已知圆上．
认真阅读以上两则材料，回答下列问题：
（1）方程（x-7）²+（y-8）²=81表示的是以为圆心，为半径的圆的方程．
（2）方程x²+y²-2x+2y+1=0表示的是以为圆心，为半径的圆的方程； 猜想：若方程x²+y²+Dx+Ey+F=0（其中D，E，F为常数）表示的是一个圆的方程，则D，E，F要满足的条件是．
（3）方程x²+y²=4所表示的圆上的所有点到点（3，4）的最小距离是（直接写出结果）．

（1）阅读证明
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的

BC

上任意一点．求证：PB+PC=PA．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在

BC

上取一点P₀，连接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．