22．证明:过O作于M.于N ∵OP∠EPF ∴OM=ON,PM=PN,∴AB=CD,则BM=DN,∴PM+BM=PN+ND,∴PB=PD——青夏教育精英家教网——

摘要：22．证明:过O作于M.于N ∵OP∠EPF ∴OM=ON,PM=PN,∴AB=CD,则BM=DN,∴PM+BM=PN+ND,∴PB=PD

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13、如图所示，△DEF中，DE=DF，过EF上一点A作直线与DE交于点B，与DF的延长线交于点C，且BE=CF．
求证：AB=AC．
证明：过B作BG∥CD交EF于G，∴∠EGB=∠EFD．∵DE=DF，∴

．∴BE=BG．
∵BE=CF，∴BG=CF．
∵BG∥CD，∴∠GBA=∠FCA，∠AGB=∠AFC．
∴△AGB≌△AFC．∴AB=AC．
阅读后回答下列问题：
（1）试在上述过程中的横线上填写适当的步骤；
（2）还有别的辅助线作法吗？若有，试说出一种：

过C作CH∥DE，交EF的延长线于H．

；
（3）若DE=DF，AB=AC，则BE、CF之间有何关系？
（4）若AB=AC，BE=CF，DF=8cm，则DE的长为

；
（5）若AB=m•AC，DE=DF，CF=a，则BE的长为

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请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．
求证：

分析：要证

，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．在比例式

中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作C

E∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明

就可以转化成证AE=AC．
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．
CE∥DA?

?∠E=∠3?AE=AC，
CE∥DA?

（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两个定理即可）
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面的括号内．

[]
①数形结合思想；
②转化思想；
③分类讨论思想．
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的长．查看习题详情和答案>>

已知矩形和点，当点在图中的位置时，求证：

证明：过点作交、于、两点，

∵

又∵

∴，∴

请你参考上述信息，当点分别在图、图中的位置时，请你分别写出、、之间的数量关系?，并选择其中一种情况给予证明

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观察计算：

当，时，与的大小关系是_________________．

当，时，与的大小关系是_________________．

探究证明：

如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．

（1）分别用表示线段OC，CD；

（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．

归纳结论：

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：______________．

实践应用：

要制作面积为4平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

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如图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.

(1)如图②,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明；

(2)在图①中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、、之间的数量关系,并说明理由；

(3)如图③,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段、、之间的数量关系.(不需要证明)

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